证明布尔环是可换环 知识归纳:抽象代数习题

01/18 11:00:56 来源网站:辅助卡盟网

〈{1,2,3,4},5〉和〈{0,1,2,3},+4〉是否同构? 给定代数结构〈I,+,〉,定义I上的二元关系R 是N3上的等价关系。若R 关于 +3 具有代换性 关于3也一定具有代换性质。求出N3 价关系S,使其关于3具有代换性质,但关于 +3 不具有代 换性质。 在以下给出的N上的关系R a-b是偶数。 10整除a-b。 中不存在有左逆元的左零元。 a0a0 试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。 定理 -1推论 且=1,则ab的阶为mn。 定理 有限群〈G,*〉的每个元素的阶为有限的,并 且不超过 均有a2 当对任意a,bG,均有(ab)2 a2b2。 均有(ab)3 ba5。证明abba。 证明有限多个群的积代数结构仍是群。10. 和b1ab的阶相同; ab和ba 的阶相同; abc,bca和cab 的阶相同。 11. 有限群中阶大于2 的元素个数必为偶数。 12. 为素数。13. 〈Nm,+m〉中某元素的阶。14. 求下列群中每个元素的 b1H。定理 关于G的二元运算封闭,则HG。 定理 G2的群同态,ei 为Gi 阶相同。习题 设H1和H2 的子群,证明H1H2也是G 的非空子集,并且H中每个元素的阶都 有限,则H 的子群的充分必要条件是H关于G 的乘法封 均为群G1到G2 的群同态,令 证明H是G1 的子群。

HK和KH 的子群。aHa1称为H 的共轭子群。 10. 称为H的正规化子。 11. 的同构。证明G的所有自 同构的集合关于函数的合成运算构成群。 12. 的子群,aG。证明存在最小正整数m 使amH,且m 的因子。13. 的子群。证明:如果amH 求下列置换:1a) 21b) 42341234 43 52631c) 1123456e)2165344 1a)61b) 21c) 824341425455576 567 736789 35164. 除么元外,每个元素的阶都是 的四阶群称为克莱因四元群。 找出克莱因四元群的所有子群; 指出下列群是否为循环群?若是循环群,则给出其一个生成元: 的阶为素数p且a(b)。证明 任一无限群必有无穷多个子群。10. 证明循环群的子 群必为循环群。 11. 证明无限循环群恰有两个生成元。 12. 无限循环群的子群除{e}外均为无限循环群。 13. 设存在代数结构〈G,〉到〈G′,*〉的满同态,如果〈G,〉 是循环群,则〈G′,*〉也是循环群。 14. 是无限循环群,G′是任意循环群。证明存在G到G′的满同态。

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定理 如果H 是有限群G 的子群,则#H 整除 #G,并且 推论1有限群G 的每个元素的阶整除G 推论2 关于H的陪集关系R 是群G1到G2 的群同态,集合 eG2}称为 的同态核,记为Ker f,其中 eG2 定理设f:G1 G2i) Ker G1ii) {eG1}定理 是群〈G1,〉到〈G2 ,*〉的群同态, 则商群〈G1 Kerf,〉同构于〈 f[G1],* 这只是定理 定理 iii)HK iv)如果KG kh。定理 HK/H。定理 为素数,证明pn阶群必有p 阶子群。 证明指数为2的子群必为不变子群。 求〈N24,+24〉的6阶子群H 及N24 关于H 的商群。 是否必为G的不变子群?证明 或举出反例。 是两个不同的素数,G为pq 换群。证明G是循环群。 证明存在从m阶循环群G1 是循环群G的子群,证明 也是循环群。11. 的不变子群,且#H=2。证明HC 的子群,且G只有一个阶为n 的子群。证明H 的不变子群。13. 的子群,如果H 的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集,则H 的不变子群。14. 为pq阶的群。证明G 阶子群必为不变子群。16. 的不变子群。并且若G/H 是循环群,则G 是交换群。

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