下 列是等价的 定义现在设 是“变量”。如果实数域 叫做单项式。定义 中的元素是任有限多个单项式的和。定理 如果F是域，每个 不是主理想。如果R 是交换环， 叫做单项式。次序在这里没有关系。定义 的元素是有限大纲单项式的和。这就给出了一个交换环，有一个典型同构 。利用此及其对n用归纳 法容易证明下列定理。 定理 如果R 的单位。习题 。利用“模核的整环同构于象”的事实证明 。亦即，如果y添加到 环的积恰如同群的积（用起来很方便）定理 同态。设R是环，在从{ ,其中函数序列 是环同态。证明 完满已经知道 是群同态（间第页）。注意{ 成立。最后，由于乘法是逐项定义的， 是环同态。习题 的每个理想均是这样的形式。习题 如果T 的一个元素e叫做幂等的倘若 。元素0和1均是幂等元，称之为平凡幂等元。设T 是交换环， 定义。这是一个环同构。这表明交换环T分裂成两个环的积当 个映射是满的，和为mnZ。因此， 作为群与环是同构的。下一个定理是这个结论的经典推广（见第 页的习题３）。 定理 的核是nZ，其中 作为环是同构的，因此，作为群也是同构的。 证明 完满希望证明 习题4）习题 证明，如果a 是整数，p 是素数，则在 （费尔马小定理）。
利用这个与中国剩余定理证明，如果b 是正整数，它与 最后一位的数码相同。 ――――――――特征―――――― 下列定理仅是一个观察，但在环论中表明，整数环是“基石”。 定理 如果R 是一个环证明布尔环是可换环，存在一个且仅一个环同态 给出。由1生成的R的子群是R 同构的子环。定义 给出，使得 nZ 的非负整数n叫做R 的特征。因此， 的所有非零元有相同的秩（对于秩的定义见第 是一个整环。如果R有特征0，则每个非零元素 有无限秩。如果R 有有限秩n na，因此 习题证明：如果F 是特征为 含有有理数域Q作为子环。也就是，单同态 ――――――布尔环――――――――这节在本书中什么地方也不用。然而，它适合在这里，并包含在参考材料里。 定义 是交换的。证明： baab 的每个元素是幂等的，因此， 章的语言，I是素理想当且仅当I 是极大理想当且仅当 的子集的非空类。考虑类R可能拥有的下列性质。 定理如果 4)满足。在这个情形下，R叫做集的布尔 代数。 证明 ，所以3)是真的。由于R 是非空的，它含有某个元素a 属于R，从而 4)是真的。 定理 是集合的布尔代数，在R上定义加法为 在这个加法下，R是阿贝尔群且 这个乘法下，R成为布尔环且 习题1）与4)。
）习题 是布尔环，一个经典的定理是：存在一个布尔环同构于R的集合的 布尔代数。所以，假设是一个集合的布尔代数，它是一个按上面定义的加法和乘 法的布尔环，现在定义 。这些运算是结合的，交换的，具有恒等元，每个关于另外一个是分配的（满足分配律）。带有这两个运算（与 补一道），R 叫做布尔代数。R 在上面的和运算下不是群。无论如何，一个 经典的事实是：如果你有布尔环（代数），你就有布尔代数（环）。布尔代数的好 处是，它关于运算和是对称的。布尔环的好处是，你可用丰富的交换环理论 描绘它。
